Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція»
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #1 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #1](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/ef6/023a42253ef07291223dd154dd27708e.jpeg)
Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція.
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #2 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #2](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/ef7/f97e749c19db820b3ad28a4a9e411bcb.jpeg)
План лекції
Вступ
Регресія
Лінійна
квадратична
Інтерполяція
Загальні відомості
Перша формула Ньютона
Друга формула Ньютона
Екстраполяція
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #3 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #3](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/ef8/abb5725eaf2617c39ae240b4ce1cce3e.jpeg)
Регресія
Задано сукупність показників y, що залежать від факторів х, то постає завдання знайти таку модель, яка б найкраще описувала існуючу залежність.
Одним з методів є регресійний аналіз. Регресія передбачає побудову такої Кривої, при якій значення показників, що лежать на ній будуть максимально наближені до фактичних, і продовжуючи цю криву одержуємо значення прогнозу.
Процес продовження прямої називається екстраполяцією. Відповідно до цього постає задача визначити цю пряму, тобто рівняння цієї прямої. В загальному вигляді рівняння прямої виглядає.
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #4 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #4](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/ef9/76f033868c5d6ae5a1ca09cf05c1a23f.jpeg)
Регресія
Задано сукупність показників y, що залежать від факторів х, то постає завдання знайти таку модель, яка б найкраще описувала існуючу залежність.
Одним з методів є регресійний аналіз. Регресія передбачає побудову такої Кривої, при якій значення показників, що лежать на ній будуть максимально наближені до фактичних, і продовжуючи цю криву одержуємо значення прогнозу.
Процес продовження прямої називається екстраполяцією. Відповідно до цього постає задача визначити цю пряму, тобто рівняння цієї прямої. В загальному вигляді рівняння прямої виглядає.
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #5 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #5](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/efa/1cd5cf81824a3a6ca77089445031e3d8.jpeg)
Види Регресії
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #6 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #6](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/efb/140679d879e954dc76a3df94ed5978b7.jpeg)
Лінійна Регресія
Нехай задано статистичні дані у вигляді таблиці і відповідності кожному значенню x значення y (y = f(x))
X1
X2
…
Xn-1
Xn
y1
Y2
…
Yn-1
Yn
Припустимо, що невідома функція є лінійною, тоді y = ax+b ,де a і b невідомі параметри.
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #7 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #7](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/efc/9bf06b4ee34975c2f95d77058519eb82.jpeg)
Лінійна Регресія (2)
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #8 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #8](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/efd/b1390f80084439f386a2067c23295122.jpeg)
Лінійна регресія (приклад)
Значення X
Значення Y
0,5
0,7
1,5
1,4
2,5
1,8
Нехай задано статистичні дані у вигляді таблиці і відповідності кожному значенню x значення y
(y = ax + b)
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #9 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #9](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/efe/5615a6f934bd050d07e660e8cc1ecc80.jpeg)
Лінійна регресія (приклад)
Значення X
Значення Y
f(x)
0,5
0,7
0,744
1,5
1,4
1,3
2,5
1,8
1,856
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #10 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #10](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/eff/16b92f81bb27801167fc73eecd55d992.jpeg)
Квадратична регресія
Припустимо, що невідома функція є квадратичною, тоді
y = a+bx+cx^2 ,де a, b і c невідомі параметри.
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #11 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #11](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/f00/55e20846b0cc7ae88bf7602460ace16a.jpeg)
Квадратична регресія (приклад)
Значення X
Значення Y
0,7
1,7
1,5
2,9
2,1
1,8
2,8
0,7
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #12 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #12](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/f01/59e719c72ee9b89e7445a474bd10db40.jpeg)
Квадратична регресія (приклад)
Значення X
Значення Y
0,7
1,7
1,5
2,9
2,1
1,8
2,8
0,7
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #13 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #13](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/f02/553fbd4eb6deeee8c09a41b6aaa986cc.jpeg)
Інтерполяція
Припустимо відомо значення деякої функції f в n+1 різних точках x0,x1,…,xn які позначимо наступним способом
fi = f(xi) i=0,1,..,n
Такі дані зазвичай отримують з експериментів чи за допомогою складних обчислень. Зазвичай виникає задача наближеного встановлення функції f в будь-якій точці x.
Наближене встановлення функції f називається інтерполяцією функції.
Часто для розв'язування цієї задачі будують алгебраїчний многочлен Ln(x) степені n, який в точках xi приймає задані значення fi = Ln(xi).
Ln(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an такий многочлен називається інтерполяційними многчленом.
Точки xi i=0,1,..,n називаються вузлами інтерполяції.
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #14 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #14](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/f03/5e61b46056f64d794458b125b3ed8f3a.jpeg)
Інтерполяція(2)
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #15 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #15](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/f04/8c55d22b3b4e4d9ca6d20f7f93411e2c.jpeg)
Інтерполяційний многочлен Ньютона для рівновіддалених вузлів
Часто інтерполяція ведеться для функції, заданих таблицями з рівно віддаленими значеннями аргументів.
Для таких таблиць побудова інтерполяційних формул спрощується.
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #16 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #16](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/f05/97c52dfde7976a4f6931f1dbb3287577.jpeg)
скінченні різниці
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #17 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #17](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/f06/d1514764d8b8b13aa9b38e63d084b5bc.jpeg)
Перша Інтерполяційна формула Ньютона
Нехай будемо шукати інтерполяційний многочлен у вигляді
Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+...+an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)
Найдем значення коефіцієнтів a0, a1, a2, ...,an:
Припустивши, що x=x0, знаходимо a0=P(x0)=y0;
Далі подставляючи значення x1, x2, ...,xn отримуємо:
a1=Δy0/h, де h= xi+1-xi
a2=Δ2y0/2!h2
a3=Δ3y0/3!h3
....................
an=Δny0/n!hn
В кінцевому результаті отримуємо многочлен:Pn(x)=y0+ Δy0/h*(x-x0)+ Δ2y0/2!h2*(x-x0)(x-x1)+...+ Δny0/n!hn*(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1) (1)
Практично формула (1) застосовується в іншому вигляді:
Візьмемо: t=(x-x0)/h, тоді x=x0+th и формула (1) перетворюється на:
Pn(x)=y0+tΔy0+t(t-1)/2! Δ2y0+...+t(t-1)...(t-n+1)/n!Δny0 (2)
Формула (2) називається інтерполяційной формулой Ньютона.
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #18 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #18](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/f07/59bb83423b9ce59dd81638433e1d15f6.jpeg)
http://numericalmethods.eng.usf.edu
18
Приклад
Швидкість підйому ракети задана, як функція від часу в таблиці 1.
Знайти швидкість підйому ракети в момент часу t=16 секунд використовуючи метод Ньютона квадратичної інтерполяції.
t
v(t)
s
m/s
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
Таблиця 1. Швидкість, як функція від часу
Figure 2: залежність швидкості від часу
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #19 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #19](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/f08/f810a671ff2deaffe08eede1c05c153e.jpeg)
Квадратична інтерполяція(2)
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #20 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #20](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/f09/9d5fc51f3373c25971b50f7f044dc500.jpeg)
Квадратична інтерполяція(3)
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #21 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #21](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/f0a/80c75e374971345caa1eac5cc3a3ff47.jpeg)
Квадратична інтерполяція(4)
Перепишемо
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #22 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #22](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/f0b/887f8e129db8d4f492642c2c74f5bf42.jpeg)
Друга інтерполяційна формула Ньютона
![Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #23 Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція» - Слайд #23](http://cdn.gdz4you.com/files/slides/f0c/5d885733bb2679e91818449e139a61cc.jpeg)
Дякую за увагу!