Презентація на тему «Означення кореня n-го степеня»

Означення
кореня
n-го степеня
Підготувала:
Івєніна Юлія

Корінь n–го степеня з числа а
Квадратним коренем (коренем другого степеня) з числа a називають таке число, квадрат якого дорівнює a.
Аналогічно дають означення кореня n-го степеня з числа a, де n ∈ N, n > 1.
Означення. Коренем n-го степеня з числа a, де n ∈ N, n > 1, називають таке число, n-й степінь якого дорівнює a.
Наприклад:
коренем п'ятого степеня з числа 32 є число 2, оскільки 2⁵ = 32;
коренем третього степеня з числа –64 є число –4, оскільки = –64;
коренями четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і –3, оскільки 3⁴ = 81 і (–3)⁴ = 81.
З означення випливає, що будь-який корінь рівняння = a, де n ∈ N, n > 1, є коренем n-го степеня з числа a, і навпаки, корінь n-го степеня з числа a є коренем розглядуваного рівняння.
 

Корінь n-го степеня, n - непарне
Якщо n — непарне натуральне число, то графіки функцій y = і y = a при будь-якому a перетинаються в одній точці .
Це означає, що рівняння = a має єдиний корінь при будь-якому a.
Висновок: якщо n — непарне натуральне число, більше за 1, то корінь n-го степеня з будь-якого числа існує, причому тільки один.
Корінь непарного степеня n, n > 1, з числа a позначають так : (читають: «корінь n-го степеня з a»).
Знак називають знаком кореня n-го степеня або радикалом.
Вираз, який стоїть під радикалом, називають підкореневим виразом.
Наприклад, =2, = -4, =0.
Корінь третього степеня також прийнято називати кубічним коренем. Наприклад, запис читають: «корінь кубічний з числа 2».
 

Зверніть увагу!
Наголосимо, що вираз ,k = N, існує при буд-якому а.
З означення кореня n-го степеня випливає, що при будь-якому а виконується рівність
Наприклад,
 

Рівняння = a
 
Розглянемо рівняння = a, де n — парне натуральне число.
1) Якщо a < 0, то графіки функцій y = xn і y = a не мають спільних точок;
2) Якщо a = 0, то розглядувані графіки мають одну спільну точку;
3) Якщо a > 0, то спільних точок дві, причому їх абсциси — протилежні числа.
Тоді можна зробити такий висновок:
якщо n — парне натуральне число, то:
при a < 0 корінь n-го степеня з числа a не існує;
при a = 0 корінь n-го степеня з числа a дорівнює 0;
при a > 0 існують два протилежні числа, які є коренями n-го степеня з числа a.
З рисунків що вже були присутні видно, що рівняння = a при a ≥ 0 обов'язково має один невід'ємний корінь.
Його називають арифметичним коренем n-го степеня з числа a.
 

Арифметичний корінь
n-го степеня
Означення. Арифметичним коренем n-го степеня з невід'ємного числа a, де n ∈ N, n > 1, називають таке невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює a.
Арифметичний корінь n-го степеня з невід'ємного числа a позначають так:
Наприклад, = 3, оскільки 3 ≥ 0 і = 81;
= 1, оскільки 2 ≥ 0 і = 64;
= 0, оскільки 0 ≥ 0 і = 0.
Узагалі, якщо b ≥ 0 і = a, n ∈ N, n > 1, то = b.
 

Позначення арифметичного кореня
Для позначення арифметичного кореня n-го степеня з невід'ємного числа a і кореня непарного степеня n з числа a використовують один і той самий запис: .
Запис , k ∈ N, використовують тільки для позначення арифметичного кореня.
Корінь парного степеня з числа a не має позначення.
 

За допомогою знака кореня n-го степеня можна записувати розв'язки рівняння = а, де n∈ N, n > 1.
Якщо n— непарне натуральне число, то при будь-якому значенні а розглядуване рівняння має єдиний корінь х = .
Якщо n— парне натуральне число і а > 0, то рівняння має два корені: =, = - .
Якщо а = 0, то х = 0.
Наприклад, коренем рівняння = 7 є число ; коренями рівняння = 5 є два числа: - і .
З означення арифметичного кореня n-го степеня випливає, що для будь-якого невід'ємного числа а має місце таке:
≥0 і виконується рівність () =
Наприклад, ()⁶ =7.
Покажемо, що при будь-якому а і k ∈ N
Наприклад, = -, = -.
 

1. Що називають коренем n-го степеня з числа а, де n ∈ N, n > 1?
2. Що називають кубічним коренем з числа а?
3. Що називають підкореневим виразом?
4. При яких значеннях а має зміст вираз ∈ N?
5. Що називають арифметичним коренем n-го степеня з невід'ємного числа а, де n ∈ N , n > 1?
6. При яких значеннях а має зміст вираз ,

Перивір себе!
/
е

Чи має зміст запис:
1) ; 2)
Чи є правильною рівність (відповідь обґрунтуйте):
3) = -3; 5) = -2;
2) = 1; 4) = 2; 6) = 2?
Доведіть, що:
1) число 2 є арифметичним кубічним коренем з числа 8;
2) число 3 є арифметичним коренем четвертого степеня з числа 81;
3) число -3 не є арифметичним коренем четвертого степеня з числа 81;
4) число 10 не є арифметичним коренем п'ятого степеня з числа 10 000.
Знайдіть значення виразу:
1) 3) ; 5) ; 7) 4 9)
2) ; 4) 6); 8) 10)
 

Обчисліть:
Обчисліть:

Властивості кореня n-го степеня

Властивості кореня n-го степеня
Теорема (корінь із степеня). Для будь-якого а∈ R і k ∈ N виконуються рівності:
Доведення. Для того щоб довести рівність = y, достатньо показати, що = x . Тоді перша з рівностей, що доводяться, є очевидною.
Для того щоб довести рівність = y, достатньо показати, що y ≥ 0 і = x. Маємо: ≥ 0 і =
 

Властивості кореня n-го степеня
Теорема (корінь з добутку). Якщо а ≥ 0 і b ≥ 0, n ∈ N, n >1, то
Доведення. Для того щоб довести рівність = y, де x ≥ 0, достатньо показати, що y ≥ 0 і = x.
Маємо: ≥ 0 і ≥ 0. Тоді ● ≥ 0. Крім того,
( ● = ( ● ( = ab.
 

Властивості кореня n-го степеня
Теорема ( корінь з добутку). Якщо a 0 і b 0, n N, n 1, то
Теорема ( степінь кореня). Якщо a N, k то
Доведення. Якщо k = 1 , то рівність, що доводиться, є очевидною.
Нехай k = 1. Маємо:
 

Властивості кореня
n-го степеня

Приклади

Приклади

Первинне закріплення вивченого матеріалу
1. Сформулюйте теорему про корінь із степеня.
2. Сформулюйте теорему про корінь з добутку.
3. Сформулюйте теорему про корінь з дробу.
4. Сформулюйте теорему про степінь кореня.
5. Сформулюйте теорему про корінь з кореня.

Первинне закріплення вивченого матеріалу
1. Сформулюйте теорему про корінь із степеня.
2. Сформулюйте теорему про корінь з добутку.
3. Сформулюйте теорему про корінь з дробу.
4. Сформулюйте теорему про степінь кореня.
5. Сформулюйте теорему про корінь з кореня.

Первинне закріплення вивченого матеріалу
1. Сформулюйте теорему про корінь із степеня.
2. Сформулюйте теорему про корінь з добутку.
3. Сформулюйте теорему про корінь з дробу.
4. Сформулюйте теорему про степінь кореня.
5. Сформулюйте теорему про корінь з кореня.

Виконання вправ: