Презентація на тему «Інтеграли та їх застосування»
Підготувала учениця 11-А класу
Інтеграли та їх застосування
Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур. Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед.
Одного разу, прийшовши із рибалки, Архімед захотів визначити найбільш точно площу поверхні риби.
Розбивши поверхню риби на прямокутники, він знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі.
Фігура, обмежена графіком функції F віссю Ох і прямими х = а та х = Ь. називається криволінійною трапецією
a
b
y
y=f(x)
Теорема
Якщо f-неперервна
і невід'ємна на [а, b] функція, а F-її первісна на цьому відрізку, то площа S відповідної криволінійної трапеції дорівнює приросту первісної на відрізку [а, b], тобто S=F(b)-F(a)
Числа а і в називають межами інтегрування:
а-нижня межу, в - верхня межа,
функцію у = f (х) - підінтегральна функція, вираз f (х) dх – підінтегральний вираз,
змінну х - змінною інтегрування
Таким чином
Визначений інтеграл
– формула Ньютона-Лейбніца.
Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції, утвореної лініями:зверху обмеженою кривою у = f (х),і прямими у = 0, х = а, х = b.
Визначений інтеграл
Знаходження площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком ДВОХ НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦІЙ
Існує багато випадків, ми роглянемо деякі з них
Площа криволінійної трапеції
a
b
x
y
y = f(x)
A
B
C
D
x = a
x = b
y = 0
Площа криволінійної трапеції
a
b
x
y
y = f(x)
A
B
C
D
x = a
x = b
y = 0
a
b
x
y
y = f(x)
y = g(x)
A
B
C
D
M
P
Площа криволінійної трапеції
a
b
x
y
y = f(x)
y = g(x)
A
B
C
D
M
P
Площа криволінійної трапеції
a
b
x
y
y = f(x)
y = g(x)
A
B
C
D
с
Е
Площа криволінійної трапеції
Обчислення площ за допомогою інтегралів .
y
x
y=f(x)
a
b
c
y=g(x)
+
y = f (x)
y = g (x)
y = 0
Обчислення площ за допомогою інтегралів .
y
x
y=f(x)
a
b
y = f (x)
y = 0
x = a
x = b
y
x
y=f(x)
a
b
y=g(x)
-
=
y = f (x)
y = g (x)
Обчислення площ за допомогою інтегралів .