Презентація на тему «Піраміди»

Піраміди

Піраміда – опуклий многогранник, який складається з плоского многокутника, точки, що не лежить в його площині і всіх відрізків, що сполучають дану точку з точками многокутника (основи).

Вершина
Основа
Бічні ребра
Бічні грані - трикутники
Висота піраміди – довжина перпендикуляра, опущеного з вершини піраміди на її основу.
h
Висота, h

Трикутна
піраміда
O
M
A
S
B
C
L
K
T

Нехай SАВС –
правильна піраміда,
в основі якої лежить
правильний трикутник АВС.
Якщо SО -висота піраміди,
то О - центр трикутника АВС
і точка О лежить на висоті
та медіані АL трикутника АВС.
M
A
S
B
C
L
K
T
Тоді пряма ВС перпендикулярна до відрізка OL,
який є проекцією похилої SL.
Отже, ВС ^ SL ,за теоремою про три перпендикуляри.
O

Отже, площина SLO
перпендикулярна до
прямої ВС. Але площина SВС
проходить через пряму ВС,
тому площини SBC і SLO
перпендикулярні.В одній із
перпендикулярних площин
(в SLO) побудуємо відрізок
МК (М - середина висоти SO),
перпендикулярний до SL. 
Тоді відрізок МК перпендикулярний до площини SBC.
Отже, основа перпендикуляра, проведеного із середини висоти піраміди на бічну грань, лежить на її апофемі.
M
A
S
B
C
L
K
T
O

Нехай SM = х (x >0).
Тоді SO=2SM=2x.
З прямокутного
трикутника SМК:
З прямокутного трикутника SМТ:
M
A
S
B
C
L
K
T
O

Використовуючи
подібність прямокутних трикутників зі спільним гострим кутом маємо:з подібних трикутників
SOL i SMK:
M
A
S
B
C
L
K
T
O

із подібних
трикутників
SОА і SТМ:
M
A
S
B
C
L
K
T
O

Оскільки трикутник АВС правильний,то АО = 2ОL.Тоді
M
A
S
B
C
L
K
T
O

Знайдемо площу
основи піраміди
=
бічн
S
S
осн
cosφ
√ 3
S
бічн
=
cosφ
АВ
2
4
M
A
S
B
C
L
K
T
O

Чотирикутна піраміда
Площина, яка паралельна основі піраміди й перетинає її, відтинає від неї подібну піраміду.
Висота піраміди
Кут між бічною гранню і площиною основи
Бічні грані – трикутники

F
S
A
D
L
B
C
O
M
K

Нехай Н - висота піраміди, а - довжина сторони основи.
Розглядаючи подібні трикутники OMS і ABS, знайдемо:
Аналогічно із трикутників OKS і CBS отримаємо:
Розділивши почленно
рівність (1) на (2), будемо мати:

звідки
Підставивши цей вираз в (1), легко знайдемо:
S
основи
=
S
бічн.
=
———
S
основи
cosφ
S
бічн.
=
——————
8b²h²
(h²−b²) cosφ

Шестикутна піраміда

Нехай OK перпендикулярно AB , тоді SK перпендикулярно AB за теоремою про три перпендикуляри. Отже, AB перпендикулярна до площини SOK. Звідси, якщо ON перпендикулярна до SK , то ON перпендикулярна до площини ASB.
ON = H cosφ

Дякуємо за увагу!
Проект виконалиучениці 11-А класуОрлик Юлія
та
Мельник Анна