Презентація на тему «Незалежні події»

Незалежні події
Виконала:
учениця 11-а класу
КЗО ДСЗШ №147
ім. В. Чорновола
Іващенко Ірина

Поняття незалежності двох подій
Подія В називається незалежною від події А, якщо подія А не змінює ймовірність події В.
Події А і В називаються незалежними, якщо виконується рівність Р (АВ) = Р (А)·Р(В). (ймовірність їх добутку – тобто сумісної появи – дорівнює добутку ймовірностей цих подій).

Приклад незалежності двох подій
Прикладом є кидання двох монет.
Розглядаються події:
А- поява герба на одній монеті
В – поява герба на другій монеті
В цьому випадку ймовірність події А не залежить від того, відбулась подія В чи не відбулась. Отже, подія А не залежить від події В.

Незалежність декількох подій
Декілька подій називаються незалежними, якщо для будь-якої підмножини цих подій (що містить дві або більше подій) ймовірність їх добутку дорівнює добутку їх ймовірностей.
Зокрема,
якщо події А1, А2, …, Аn незалежні, то
Р (А1 А2 … Аn) = Р(А2) … Р(Аn).

Властивість незалежних подій
Якщо ми маємо сукупність незалежних подій, то, замінивши деякі з цих подій на протилежні їм події, знову одержимо, сукупність незалежних подій. Наприклад, якщо події А і В незалежні, то незалежними будуть також події:
А і В, А і В, А і В

Ймовірність появи хоча б однієї з незалежних подій
Ймовірність появи хоча б однієї з незалежних подій А1 , А2 , …, Аn , можна обчислити за формулою
Р(А1+А2+…+Аn) = 1- (1 - Р(А1))(1 - Р(А2))…(1 - Р(Аn))

Задача №1
Прилад складається з трьох вузлів, кожен з яких протягом доби може вийти з ладу незалежно від інших. Прилад не працює, якщо не працює хоча б один з вузлів. Ймовірність роботи без поломки протягом доби першого вузла дорівнює 0,95, другого – 0,9, третього – 0,85. Знайдіть ймовірність того, що протягом доби прилад працюватиме без поломок.

Розв`язок задачі
Нехай подія А1 - перший вузол справний, подія А2 – другий вузол справний, подія А3 – третій вузол справний, подія А – протягом доби прилад працює без поломок.
Події А1 ,А2 , А3 – незалежні за умовою. Оскільки прилад працює без поломок тоді й тільки тоді, коли справні всі три вузли, то А= А1А2А3.
Отже,
P(А) = Р (А1А2А3) =Р (А1)·Р(А2)·Р(А3) =
= 0,95·0,9·0,85 = 0,72675 ≈ 0,73

Задача №2
Два стрільці зробили по одному пострілу в одну мішень. Ймовірність попасти в мішень для першого стрільця дорівнює 0,9 , для другого – 0,8. Знайдіть ймовірність того, що мішень буде влучена.

Розв`язок задачі
Нехай А- перший стрілець попав у мішень, В – другий стрілець попав у мішень, С – мішень улучена.
В цьому випадку використовувати множення ймовірностей не можна, оскільки подія С відбувається не тільки тоді, коли обидва стрільці попали у мішень, але й тоді, коли в мішень попав хоча б один з них.
Тоді, розглянемо події А, В, С, протилежні подіям А, В, С. Події А і В незалежні, то події А і В також незалежні.
Р (А) = 0,9 , то Р(А) = 1 – Р(А) = 1- 0,9= 0,1.
Р(В) =0,8 , то Р(В) =1 – Р(В) =1 – 0,8 =0,2.
Ураховуючи, що мішень не буде влучена тоді й тільки тоді, коли в неї не попаде ні перший стрілець, ні другий, одержуємо, що С=АВ. Тоді
Р(С) =Р(А) Р(В) = 0,1 0,2 = 0,02
Оскільки події С і С протилежні, то
Р(С) = 1- Р(С) = 1- 0,02 = 0,98