Презентація "Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція"

-1
Попередній слайд
Наступний слайд


Завантажити презентацію "Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція"
Слайд #1
Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція.


Слайд #2
План лекції
Вступ
Регресія
Лінійна
квадратична
Інтерполяція
Загальні відомості
Перша формула Ньютона
Друга формула Ньютона
Екстраполяція


Слайд #3
Регресія
Задано сукупність показників y, що залежать від факторів х, то постає завдання знайти таку модель, яка б найкраще описувала існуючу залежність.
Одним з методів є регресійний аналіз. Регресія передбачає побудову такої Кривої, при якій значення показників, що лежать на ній будуть максимально наближені до фактичних, і продовжуючи цю криву одержуємо значення прогнозу.
Процес продовження прямої називається екстраполяцією. Відповідно до цього постає задача визначити цю пряму, тобто рівняння цієї прямої. В загальному вигляді рівняння прямої виглядає.


Слайд #4


Слайд #5
Види Регресії
 


Слайд #6
Лінійна Регресія
Нехай задано статистичні дані у вигляді таблиці і відповідності кожному значенню x значення y (y = f(x))
X1
X2

Xn-1
Xn
y1
Y2

Yn-1
Yn
Припустимо, що невідома функція є лінійною, тоді y = ax+b ,де a і b невідомі параметри.


Слайд #7
Лінійна Регресія (2)
 


Слайд #8
Лінійна регресія (приклад)
Значення X
Значення Y
0,5
0,7
1,5
1,4
2,5
1,8
Нехай задано статистичні дані у вигляді таблиці і відповідності кожному значенню x значення y
(y = ax + b)


Слайд #9
Лінійна регресія (приклад)
 
Значення X
Значення Y
f(x)
0,5
0,7
0,744
1,5
1,4
1,3
2,5
1,8
1,856


Слайд #10
Квадратична регресія
Припустимо, що невідома функція є квадратичною, тоді
y = a+bx+cx^2 ,де a, b і c невідомі параметри.
 
 


Слайд #11
Квадратична регресія (приклад)
Значення X
Значення Y
0,7
1,7
1,5
2,9
2,1
1,8
2,8
0,7


Слайд #12


Слайд #13
Інтерполяція
Припустимо відомо значення деякої функції f в n+1 різних точках x0,x1,…,xn які позначимо наступним способом
fi = f(xi) i=0,1,..,n
Такі дані зазвичай отримують з експериментів чи за допомогою складних обчислень. Зазвичай виникає задача наближеного встановлення функції f в будь-якій точці x.
Наближене встановлення функції f називається інтерполяцією функції.
Часто для розв'язування цієї задачі будують алгебраїчний многочлен Ln(x) степені n, який в точках xi приймає задані значення fi = Ln(xi).
Ln(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an такий многочлен називається інтерполяційними многчленом.
Точки xi i=0,1,..,n називаються вузлами інтерполяції.


Слайд #14
Інтерполяція(2)
 


Слайд #15
Інтерполяційний многочлен Ньютона для рівновіддалених вузлів
Часто інтерполяція ведеться для функції, заданих таблицями з рівно віддаленими значеннями аргументів.
Для таких таблиць побудова інтерполяційних формул спрощується.


Слайд #16
скінченні різниці
 


Слайд #17
Перша Інтерполяційна формула Ньютона
Нехай будемо шукати інтерполяційний многочлен у вигляді
Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+...+an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)
Найдем значення коефіцієнтів a0, a1, a2, ...,an:
Припустивши, що x=x0, знаходимо a0=P(x0)=y0;
Далі подставляючи значення x1, x2, ...,xn отримуємо:
a1=Δy0/h, де h= xi+1-xi
a2=Δ2y0/2!h2
a3=Δ3y0/3!h3
....................
an=Δny0/n!hn
В кінцевому результаті отримуємо многочлен:Pn(x)=y0+ Δy0/h*(x-x0)+ Δ2y0/2!h2*(x-x0)(x-x1)+...+ Δny0/n!hn*(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1) (1)
Практично формула (1) застосовується в іншому вигляді:
Візьмемо: t=(x-x0)/h, тоді x=x0+th и формула (1) перетворюється на:
Pn(x)=y0+tΔy0+t(t-1)/2! Δ2y0+...+t(t-1)...(t-n+1)/n!Δny0 (2)
Формула (2) називається інтерполяційной формулой Ньютона.


Слайд #18
http://numericalmethods.eng.usf.edu
18
Приклад
Швидкість підйому ракети задана, як функція від часу в таблиці 1.
Знайти швидкість підйому ракети в момент часу t=16 секунд використовуючи метод Ньютона квадратичної інтерполяції.
t
v(t)
s
m/s
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
Таблиця 1. Швидкість, як функція від часу
Figure 2: залежність швидкості від часу


Слайд #19
Квадратична інтерполяція(2)



Слайд #20
Квадратична інтерполяція(3)


Слайд #21
Квадратична інтерполяція(4)
Перепишемо


Слайд #22
Друга інтерполяційна формула Ньютона
 


Слайд #23
Дякую за увагу!