Презентація на тему «Комбінації геометричних тіл» (варіант 2)

Комбінації геометричних тіл

Приклади комбінації фігур

Можливі типи комбінацій геометричних тіл
1. Многогранник і піраміда (призма вписана в піраміду,
або піраміда вписана в призму, та інші)
2. Многогранник і тіло обертання
(піраміда вписана в конус або циліндр або кулю; циліндр, вписаний в піраміду або призму; куля вписана або описана навколо піраміди та інші.)
3. Тіло обертання і тіло обертання
(конус вписаний в циліндр, куля описана навколо циліндра,та інші.)

Описані навколо многогранників (призм) кулі
1. Кулю називають описаною навколо многогранника, якщо всі вершини многогранника лежать на поверхні кулі(сфери). В цьому випадку многогранник називають вписаним в кулю.
О
А
В
С
С1
В1
А1
2. Центр кулі, описаної навколо многогранника, рівновіддалений від всіх його вершин. АО=ВО=ОВ1=….=Rкулі.
О1
О2
3. Центр кулі, описаної навколо прямої призми, лежить на середині висоти, яка з`єднує центри кіл, описаних навколо основ призми.
H= О1О2 -висота призми,
R- радіус кулі,
r- радіус кола описаного навколо
основи призми:
Rкулі
r

Описані навколо многогранників (призм) кулі
(продовження)
D
A
C
B
A1
C1
D1
B1
1. Кулю можна описати навколо призми, тільки якщо вона пряма і її основа многокутник навколо якого можна описати коло.
О
2. Центр кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда,лежить
в точці перетину діагоналей паралелепіпеда, а кожна його діагональ є діаметром описаної кулі.
АС1=dкулі=2R
Кулю можна описати навколо призми
якщо в основі лежить прямокутник,
квадрат.

С1
В1
А1
А
В
С
1.Кулю можна вписати в пряму призму,
якщо її основи є многокутниками,
описаними навколо кола, а висота
призми дорівнює діаметру кулі і
діаметру цього кола.
Вписані в многогранники (призми) кулі
О1
О2
О
2. Центр кулі,вписаної в пряму призму,
лежить на середині відрізка, який
з'єднує центри кіл, вписаних в основи
призми.
R
r
3. Радіус кулі дорівнює радіусу кола,
вписаного в основу призми, а діаметр
кулі дорівнює висоті призми.
4. R-радіус кулі,
r- радіус кола,вписаного в основу
призми,
H = О1О2 - висота призми і діаметр кулі.

Описані навколо пірамід кулі
S
A
B
C
1. Кулю називають описаною навколо піраміди, якщо всі вершини піраміди лежать на поверхні кулі.
О1
О
2. О1 - центр кулі; АО1=Rкулі ; О - центр кола описаного навколо основи.
Rкулі
3. Центр кулі,описаної навколо довільної піраміди лежить на прямій,перпендикулярній площині основи, яка проходить через центр кола,описаного навколо основи, в точці перетину цієї прямої з площиною,яка перпендикулярна до бічного ребра і проходить через його середину.
М
ОО1 ┴ (АВС); М - середина SA;
α ┴ SA(М α );
α перетинає ОО1 в точці О1.
4. Центр кулі може знаходитись:
в середині піраміди;
в площині основи;
поза пірамідою.

Описані навколо пірамід кулі (продовження)
S
A
B
C
D
1. Якщо вершина піраміди проектується в центр кола описаного навколо основи, то центр описаної кулі лежить на прямій, яка містить висоту піраміди в точці перетину цієї прямої з серединним перпендикуляром до бічного ребра.
О1
О
r
R
M
SO - висота піраміди; О-центр кола описаного навколо основи піраміди;
АО = r - радіус кола описаного навколо основи піраміди;
М-середина ребра SА,
МО1∩SА=О1-центр описаної кулі
S1
┐
2. Якщо центр описаної кулі лежить на висоті піраміди або на її продовженні, то при розв`язанні деяких задач можна продовжити висоту піраміди до перетину з кулею в точці S1 і з`єднати S1 з А. Тоді SS1 -діаметр кулі SAS1 - прямий, як вписаний кут, який спирається на діаметр.

Вписана в піраміду куля
1. Куля називається вписаною в піраміду, якщо всі грані піраміди дотикаються до кулі.
О1
К
В
А
С
S
О1 - центр кулі, К - точка дотику з гранню (SАС);
О1К=r (радіус кулі), О1К ┴(SАС).
2. Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу, то центр вписаної кулі лежить на висоті піраміди, в точці перетину висоти з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при основі піраміди.
О
SО - висота піраміди, О - центр кола,
вписаного в основу піраміди, О1О=r.
M
┐
┐
МО1 - бісектриса SМО.
SM ┴ ВС і ОМ ┴ ВС, тому SМО - лінійний кут двогранного кута при основі .
ОМ - радіус кола,вписаного в основу піраміди.

Циліндр, вписаний у кулю
2. Основи циліндра рівновіддалені від центра кулі.
О2
О1
О
3. Ця комбінація тіл симетрична відносно будь-якої площини, що проходить через центр кулі паралельно твірним циліндра.
4. Переріз тіла такою площиною є прямокутник АВСD і описане навколо нього коло.
А
В
С
D
5. Прямокутник АВСD є осьовим перерізом циліндра, а описане коло – велике коло даної кулі.
О
А
С
D
6. Діагональ АС є діаметром описаної кулі.
B
1. Куля називається описаною навколо циліндра,якщо основи циліндра є паралельними перерізами кулі.
7. Центр описаної кулі лежить на середині висоти циліндра, яка проходить через вісь циліндра: R2=(0,5H)2 + r2
AD= R-радіус кулі
DE=r-радіус циліндра
H-висота циліндра
E
r
R

Циліндр, описаний навколо кулі
О
О1
О2
2. Точки дотику кулі і основ циліндра є центрами основ циліндра.
3. Площина проведена через центр кулі паралельно твірним циліндра, є площиною симетрії тіла.
5. Висота циліндра є діаметром кулі: Н циліндра = О1О2= dкулі
4. Осьовий переріз даного циліндра є квадрат.
rц
О
R
A
B
C
D
D
C
B
A
H
Rк
Куля називається вписаною в циліндр,якщо основи і всі твірні,які утворюють циліндр дотикаються кулі. Кулю можна вписати тільки в рівносторонній циліндр. Rкулі=rциліндра.

R
Конус, вписаний в кулю
1. Вершина конуса S лежить на сфері.
S
2. Комбінація є симетричною відносно площини, що містить вісь конуса . У такому перерізі маємо трикутник, вписаний у коло.
А
В
О
S
4. Трикутник ASB рівнобедрений . Бічні сторони - твірні конуса, коло – велике коло описаної кулі.
O1
5. Радіус кулі дорівнює радіусу кола , описаного навколо осьового перерізу конуса.
O1
C
3.Трикутник АОS-рівнобедрений
Кут АСО-прямий
АС=СS, R-радіус кулі,
r-радіус конуса,
H-висота конуса,
R2=(H-R)2+r2
r
H

Куля , вписана в конус
S
O
2. Площина, яка містить вісь конуса, є площиною симетрії.
3. Осьовий переріз комбінації є рівнобедрений трикутник, у який вписане коло.
S
A
B
O1
4. Трикутник – це осьовий переріз конуса, SA=SB - твірні конуса, АВ - діаметр основи конуса, коло - велике коло вписаної кулі. Радіус кулі дорівнює радіусу кола вписаного в трикутник ASB.
R
1.Кулю можна вписати в будь-який конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу,
що лежить в площині, паралельній основі конуса.
H
r
O
R-радіус кулі,
r-радіус конуса,
H-висота конуса

Циліндр вписаний в призму
2. Циліндром, вписаним в призму, називається циліндр, основи якого -круги, вписані в основи призми, а бічна поверхня циліндра дотикається бічних граней призми.
3. Вісь циліндра співпадає з висотою призми.
Hц
r
4. Радіус циліндра дорівнює радіусу кола вписаного в основу призми.
1. Дотичною площиною до циліндра називається площина,яка проходить через твірну циліндра й перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю твірну.
α ┴ β.
О1
О2
α
β

Піраміда вписана в конус
S
1. Конус називається описаним навколо піраміди,якщо його основа - круг, описаний навколо основи піраміди,вершина співпадає з вершиною піраміди,а твірні збігаються з ребрами піраміди.
Н
О
2. Висоти конуса і піраміди збігаються на основі єдиності прямої, перпендикулярної до площини і проведеної через точку, яка не лежить у даній площині.
R - радіус конуса, який дорівнює радіусу описаного навколо основи піраміди кола.
R
.
А

2. Радіус вписаного в основу піраміди кола (круга) перпендикулярний стороні многокутника, який лежить в основі піраміди, і є проекцією твірної конуса на площину основи.
Конус вписаний в піраміду
S
1. Конусом, вписаним в піраміду, називається конус, основа якого – круг, вписаний у многокутник основи піраміди, вершина співпадає з вершиною піраміди, бічна поверхня конуса дотикається бічних граней піраміди.
Дотичною площиною до конуса називається площина,яка проходить через твірну конуса і перпендикулярна до площини осьового перерізу, проведеного через цю твірну.
Н
О
r
┐

Об'єми тіл
Для простих тіл об'єм(V) - це додатна величина,числове значення якої має такі властивості:
V1
V2
=
1. Рівні тіла мають рівні об'єми.
V
V1
V2
=
+
2. Якщо тіло розбито на частини, які є простими тілами,то об'єм цього тіла дорівнює сумі об'ємів його частин.
3. Об'єм куба,ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці.
1(мм,см,м..)
V=1 (мм3,см3,м3..)

Об'єм призми
1. Об'єм будь-якої призми дорівнює добутку площі основи та висоти.
Vпр=SоснH.
Sосн
H
2. Для прямокутного паралелепіпеда
V=abc, де a, b, c- його виміри.
a
b
c
3. Для куба V=а3, де а- довжина ребра.
a
4.Для похилої призми об'єм можна обчислити як добуток площі перпендикулярного та довжини бічного ребра.
V=Ql.
┐
l
Q

Об'єм піраміди
S
Н
О
1. Об'єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі
її основи та висоти: V= SоснH.
2.Об'єми подібних тіл відносяться як куби їх відповідних лінійних розмірів.
Sосн
а1
а2
V1
V2
V1:V2=(a1)3:(a2)3

Об'єми круглих тіл
1.Об'єм циліндра дорівнює добутку площі його основи та висоти.
Vц= SоснH
Vц= πR2H.
2.Об'єм конуса дорівнює одній третині добутку площі його основи та висоти.
Vц= SоснH
Vц= πR2H.
Н
Sосн
3.Об'єм кулі
Vк= πR3.
Н
R
Vкульового сегмента
=πH2(R- )
Vкульового сектора
= πR2H