Презентація "Інтеграл та його застосування"

Попередній слайд
Наступний слайд


Завантажити презентацію "Інтеграл та його застосування"
Слайд #1
Інтеграл та його застосування


Слайд #2
Історія розвитку понять інтеграла й інтегрального обчислення
Історія розвитку понять інтеграла й інтегрального обчислення пов’язана з потребою в обчисленні площ фігур, а також поверхонь і об’ємів довільних тіл. Передісторія інтегрального обчислення сягає глибокої давнини: ідеї інтегрального обчислення можна знайти в роботах давньогрецьких учених Евдокса Кнідського (бл.408-355 до н.е.) і Архімеда (бл.287-212 до н.е.).


Слайд #3
Короткі історичні відомості
Поняття інтеграла та інтегральне обчислення виникло через необхідність обчислювати площі будь-яких фігур і поверхонь та об'ємів довільних тіл.
Символ увів Лейбніц у 1686 році.
Отож, інтеграл — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі.


Слайд #4
4
Диференціювання функції f(x) – операція знаходження її похідної .
Наприклад. Знайти похідну функції:
а) ; б) .
Розв’язання
а) ;
б) .
Знаходження функції f(x) за даною її похідною називається операцією інтегрування.
Операція інтегрування обернена до операції диференціювання.
Наприклад.
а) Якщо , то , оскільки .
б) Якщо , то ,
оскільки .
Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на даному проміжку, якщо для будь-якого х з цього проміжку
Наприклад.
Функція -
первісна для функції на
проміжку , оскільки при




Слайд #5
Основна властивість первісних
Якщо функція F(x) є первісною для функції f(x) на даному проміжку, а С – довільна стала, то функція F(x)+С також є первісною для функції f(x), при цьому будь-яка первісна для f(x) на даному проміжку може бути записана у вигляді F(x)+С, де С– довільна стала.
Вираз F(x)+С - загальний вигляд первісної для функції f(x).
Наприклад.
Якщо - первісна для функції
на проміжку , то
первісною для функції на
проміжку є функція , де С – довільна стала, оскільки

Геометричний зміст основної властивості первісних
Графіки всіх первісних для даної функції f(x) одержується з будь-якого з них шляхом паралельного перенесення вздовж осі Оу.
Сукупність усіх первісних даної функції f(x) називається невизначеним інтегралом.
Позначається: ; тобто
, де F(x) – одна з первісних для функції f(x), С – довільна стала.
- знак інтеграла, f(x) підінтегральна функція, f(x)dx – підінтегральний вираз.
Наприклад.
а) , оскільки - первісна функції
б) , оскільки - первісна для функції


Слайд #6
6
Таблиця первісних (невизначених інтегралів)

Функція f(x)
Загальний вигляд первісних F(x)+С, де С - стала
Запис за допомогою невизначеного інтеграла
0
С
1
х+С


Слайд #7
Правила знаходження первісних (правила інтегрування)
1. Якщо F - первісна функції , а G – первісна функції , то F+ G – первісна функції

Наприклад.
Знайти первісну для функції:
а) ; б) .
Розв’язання
а) ;
б) .
Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів від доданків, тобто
Наприклад.
Обчислити:
а) ; б) .
Розв’язання
а)
б)


Слайд #8
Правила знаходження первісних (правила інтегрування)
2. Якщо F - первісна функції , а k і b – сталі, то kF – первісна для функції .
Наприклад.
Знайти первісну для функції:
а) ; б)
Розв’язання
а) ;
б)
Сталий множник виноситься за знак інтеграла, тобто , де k – стала.
Наприклад. Обчислити:
а) ; б) .
Розв’язання
а)

б)


Слайд #9
3. Якщо F - первісна функції , а k і b – сталі , то - первісна для функції .
Наприклад. Знайти первісну для функції:
а) ; б) .
Розв’язання
а) ;
б) .
Наприклад. Обчислити:
а) ; б) .
Розв’язання
а)
б)
Правила знаходження первісних (правила інтегрування)


Слайд #10
Криволінійна трапеція та її площа
Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком невід’ємної на відрізку функції, віссю Ох і прямими x=a і x=b.
Наприклад.
Теорема. Нехай - непарна і невід'ємна на відрізку функція, а S – площа відповідної криволінійної трапеції.
Якщо - первісна для на інтервалі, що містить відрізок , то .
Наприклад. Обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями: , , x=0, .
Розв’язання
- синусоїда; - вісь Ox; x=0 – вісь Оу; - пряма, що проходить через
точку паралельно осі Оу.
Для функції первісною є a=0, b = .
Нехай S - шукана площа, тоді .

(кв. од.)
Відповідь: 2 кв. од.


Слайд #11
Визначений інтеграл
- неперервна на проміжку І;
- первісна для на проміжку І;
- приріст первісної.
Число називається визначеним інтегралом від a до b від функції , ,
Позначається:


Слайд #12
Формула Ньютона - Лейбніца
- підінтегральна функція;
- підінтегральний вираз;
a - нижня межа інтегрування;
b - верхня межа інтегрування;
x – змінна інтегрування.
Основні властивості визначених інтегралів
2)
, (k – стала);
1)


Слайд #13
Нехай криволінійна трапеція обмежена зверху графіком функції , яка неперервна і невід’ємна на відрізку , віссю Ох і прямими x=a і x=b.
Внаслідок обертання цієї криволінійної трапеції навколо осі Ох утворилося тіло, об’єм якого можна обчислити за формулою:
Наприклад. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями: , , , .
Розв’язання
- вісь Ох;
- пряма, що проходить через
точку (1;0) паралельно осі Оу;
- пряма, що проходить через
точку (2;0) паралельно осі Оу;
- парабола.
а =1, b=2 – межі інтегрування.

(куб. од.)
Відповідь: куб. од.
Обчислення об’ємів за допомогою визначеного інтеграла
х
-2
-1
0
1
2
у
4
1
0
1
4


Слайд #14
Застосування
визначеного
інтеграла
Обчислення
площ
плоских
фігур
Застосування
в економіці
й техніці
Обчислення
об'ємів тіл
Обчислення
відстані
за відомим
законом зміни
швидкості
Обчислення
роботи
змінної
сили та
потужності
Обчислення
кількості
електрики
та кількості
теплоти


Слайд #15
Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур. Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед.
Одного разу, прийшовши із рибалки, Архімед захотів визначити найбільш точно площу поверхні риби.


Слайд #16
Розбивши поверхню риби на прямокутники, він знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі.


Слайд #17
Застосування
інтеграла у фізці


Слайд #18
1. Обчислення шляху за відомим законом зміни швидкості.


Слайд #19
Розв'яжемо задачу:
Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю, яка змінюється за законом v=2t+1(м/с). Знайти шлях, який пройшло тіло за інтервал часу від t 1 =1c, до t2 =3c.


Слайд #20
2. Обчислення роботи змінної сили.


Слайд #21
Розв'яжемо задачу:
Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4м, що має квадратний переріз із стороною 2м. Густина води ρ=103 кг/м3 .


Слайд #22
3. Обчислення маси неоднорідного стержня.


Слайд #23
Розв'яжемо задачу:
Знайти масу стержня завдовжки 35см, якщо його лінійна густина змінюється за законом ρ(l)=(4l+3)(кг/м)


Слайд #24
4. Обчислення кількості електрики.


Слайд #25
Розв'яжемо задачу:
Знайти кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за 10с, якщо сила струму змінюється за законом I(t)=(4t+1)(A)


Слайд #26
ІНТЕГРАЛ В ЕКОНОМІЦІ
Загальний прибуток за час t1 можна знайти за формулою:


Слайд #27
ІНТЕГРАЛ В БІОЛОГІЇ
Середня довжина шляху, який пролітають птахи, перетинаючи деяку фіксовану ділянку, обчислюється за формулою:


Слайд #28
ІНТЕГРАЛ В ПОБУТІ
Щоб каша була смачною, потрібно таке відношення води і круп:


Слайд #29

Приклад 1 Експериментально встановлено, що продуктивність праці робітника наближено виражається формулою
f(t)= -0.0033t2 - 0.089t + 20.96, де t — робочий час у годинах. Обчислити обсяг випуску продукції за квартал, вважаючи робочий день восьмигодинним, а кількість робочих днів у кварталі — 62.
Розв'язання. Обсяг випуску продукції протягом зміни є первісною від функції, що виражає продуктивність праці.
Тому
.
Протягом кварталу обсяг випуску продукції становитиме:
=62(-0.001∙512 -2.848 + 167.68) = 62∙164.27≈  10185 (од.).


Слайд #30
 Приклад 2
Експериментальне встановлено, що залежність витрати бензину автомобілем від швидкості на 100 км шляху визначається формулою Q = 18 - 0,3v +0,003v2, де 30 ≤ v ≤110. Визначити середню витрату бензину, якщо швидкість руху 50 - 60 км/год.
Розв'язання. Середня витрата бензину становить
= 1/10(18∙60-0.3∙1800+0.003∙72000-18∙50-0.3∙1250-0.003∙41667) =
= 1/10(1080-540 + 216-900 + 375- 125) = 10,6 (л).
Отже, автомобіль на 100 км шляху, рухаючись зі швидкістю 50 - 60 км/год, витрачає в середньому 10,6 л бензину.


Слайд #31
Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4м., що має квадратний переріз зі стороною 2м. Густина води ρ=103кг/м3.
Розв'язання: Спрямуємо вісь Ох вздовж діючої сили. Значення сили F(x), що діє на переріз прямокутного паралелепіпеда площею 4 м2, визначається вагою шару води, що знаходиться вище від цього перерізу. Отже


Слайд #32


Слайд #33


Слайд #34


Слайд #35


Слайд #36
Дякую за увагу!