Презентація "Використання показникової функції"

Попередній слайд
Наступний слайд


Завантажити презентацію "Використання показникової функції"
Слайд #1
Використання показникової функції


Слайд #2
… природа формулює свої закони мовою математики.
Галілео Галілей


Слайд #3
у = у0ах
Показникова функція дуже часто реалізується в фізичних, біологічних та інших законах.
В житті нерідко доводиться зустрічатися з такими фактами, коли швидкість зміни деякої величини пропорційна самій величині. В цьому випадку дана величина буде змінюватися по закону, що має вигляд:


Слайд #4
Графіки спадної та зростаючої показникової функцій:
За допомогою показникової функції описуються процеси природного зростання чи спадання.


Слайд #5
Розмноження бактерій
де a >1 – постійна величина, що характеризує швидкість росту даної колонії і залежить від біологічного виду організмів та від умов зовнішнього середовища.
Колонія живих організмів (зокрема, бактерії) зростає в результаті розмноження. Якщо за рівні проміжки часу число живих організмів збільшується в одне й те саме число разів, то число N організмів по закінченні часу t після початку спостережень виражається формулою
N=na t


Слайд #6
Радіоактивний розпад
М = М0(1/2)t/T
Коли радіоактивна речовина розпадається, її кількість зменшується. Через деякий час залишиться половина початкової кількості речовини. Цей проміжок часу Т називається періодом напіврозпаду речовини. Через t років маса М речовини буде дорівнювати
де М 0 – початкова маса речовини. Чим більший період напіврозпаду, тим повільніше розпадається речовина.
Явище радіоактивного розпаду використовується для визначення віку археологічних знахідок, наприклад, визначено приблизний вік Землі, біля 5,5 млрд років.


Слайд #7
Приріст капіталу в банку
де А — шукана величина, А0, — початковий вклад, Р — річний відсоток, t — розрахунковий термін.
Приріст капіталу в банку здійснюється за законом природного зростання. Всім відома формула складних відсотків:
А = А0(1+р/100)t


Слайд #8
Ріст населення
де N0 – кількість людей при t = 0, N – кількість людей в момент часу t,
а, e – постійні величини.
Зміна кількості людей в країні за великий проміжок часу t описується формулою:
N = N0eat


Слайд #9
В природі і техніці часто можна спостерігати процеси, які проходять відповідно до законів вирівнювання, що описуються показниковою функцією.
Наприклад, всі, напевно, помічали, якщо зняти киплячий чайник з вогню, то спочатку він швидко охолоджується, а потім зниження температури йде набагато повільніше.

Справа в тому, що швидкість охолодження пропорційна різниці між температурою чайника і температурою навколишнього середовища. Чим меншою стає ця різниця, тим повільніше охолоджується чайник.


Слайд #10
Т = (Т1 – Т0)е-kt + Т1
Якщо спочатку температура чайника дорівнювала Т0, а температура повітря – Т1, то через t секунд температура чайника виразиться формулою:

де k – число, що залежить форми чайника, матеріалу, з якого він зроблений та кількості води, що в ньому знаходиться.


Слайд #11
Задача про парашутиста
де m – маса парашутиста.
Через деякий проміжок часу e-kt/m стане дуже маленьким числом і падіння стане майже рівномірним.
При падінні тіл в безповітряному просторі їх швидкість неперервно зростає. При падінні тіл в повітрі швидкість падіння також зростає, але не може перевищити визначеної величини. Розглянемо задачу про падіння парашутиста. Якщо вважати, що сила опору повітря пропорційна швидкості падіння парашутиста, тобто F = kV, то через t секунд швидкість падіння буде дорівнювати:
V = mg/k (1- e-kt/m)


Слайд #12
Коливання маятника
Оскільки множник e-kt зменшується з плином часу, то розмах коливань стає все меншим і меншим
Якщо при коливаннях маятника не нехтувати опором повітря, то амплітуда коливань стає все меншою, коливання затухають. Відхилення точки, що здійснює затухаючі коливання, виражається формулою:
S = Ae-kt sin(ωt + φ0)


Слайд #13
M = m(ev/v0 – 1)
Багато складних математичних задач доводиться розв’язувати в теорії міжпланетних подорожей. Одною з них є задача про визначення маси палива, необхідної для надання ракеті потрібної швидкості V. Ця маса М залежить від маси m самої ракети (без палива) і від швидкості V0, з якою продукти горіння витікають з ракетного двигуна. Якщо не враховувати опір повітря і земне тяжіння, то маса палива обчислюється за формулою:
(формула К.Е. Ціолковського)


Слайд #14
Барометрична формула
При постійній температурі атмосферний тиск змінюється залежно від висоти над рівнем моря за законом:
Р=Р0 а h
де Р0 – атмосферний тиск над рівнем моря, Р – тиск на висоті h, а – деяка постійна (залежить від температури).


Слайд #15
Ми  ще раз пере­коналися, що математика — це всеосяжна наука, без знання якої неможливо ні пізнати оточуючий нас світ, ні забезпечити науково-технічний прогрес. Як казав великий Ейнштейн : „Природа – це реалізація найпростіших математичних ідей”.


Слайд #16
Як бачите, в усіх наведених дослідженнях використовувалася показникова функція.
Ось деякі з Нобелівських лауреатів, що отримали премію за дослідження в області фізики з використанням показникової функції:
П'єр Кюрі – французький фізик, лауреат Нобелівської премії з фізики в 1903 році за дослідження явища радіації.
Річардсон Оуен - англійський фізик, лауреат Нобелівської премії з фізики в 1928 році за роботи з вивчення терміонних явищ, і особливо за відкриття закону, що носить його ім'я.


Слайд #17
Ігор Тамм — фізик-теоретик, начальник сектора конструкторського бюро № 11 (Арзамас-16), академік Академії наук СРСР, Нобелівська премія з фізики в 1958 році за дослідження теорії випромінювання Черенкова—Вавилова.
Луїс Альварес - американський фізик та винахідник, дослідник ядерної фізики та космічного випромінювання. Лауреат Нобелівської премії з фізики в 1968 році.
Ганнес Альфвен — шведський фізик і астроном, лауреат Нобелівської премії з фізики 1970 року за внесок у розвиток магнітогідродинаміки.
Роберт Вудро Вільсон, Арно Аллан Пензіасом — американські фізики, лауреати Нобелівської премії з фізики 1978 року «за відкриття мікрохвильового реліктового випромінювання».